Tipos de sistemas de ecuaciones



En el análisis de un sistema de ecuaciones lineales se pueden presentar varios casos:

  • Si el sistema tiene solución, y ésta es única, se denomina compatible determinado.
  • Cuando presenta varias soluciones posibles, es compatible indeterminado.
  • Si no tiene solución, se denomina imposible o incompatible.
Dos sistemas de ecuaciones lineales que tienen las mismas soluciones son equivalentes. En la noción de equivalencia se basan las principales técnicas algebraicas de resolución de estos sistemas, que persiguen convertirlos en otros cuya resolución sea más sencilla.


Una de las clasificaciones que podemos hacer con los sistemas de ecuaciones lineales atiende al número de sus soluciones.
Pueden ser de tres tipos:
  • Compatible determinado: cuando tienen una única solución, es decir, cada incógnita sólo puede tomar un determinado valor.
  • Compatible indeterminado: cuando tiene infinitas soluciones.
  • Incompatible: cuando no existe solución.
Cualquier sistema que pretendamos resolver puede ser, a priori, de alguno de estos tipos. ¿Cómo darnos cuenta del tipo de sistema de que se trata?
Se puede afirmar que si, al intentar resolver el sistema, y no cometiendo errores, nos encontramos con que ...:
  • LLegamos a la solución, es que se trata de un sistema compatible determinado.
  • En alguna ecuación desaparecen las incógnitas, quedando de la forma 0 = 0, dicha ecuación puede eliminarse. Si al hacerlo, quedan menos ecuaciones que incógnitas, es que se trata de un sistema compatible indeterminado.
  • En alguna ecuación desaparecen las incógnitas, pero queda de la forma 0 = K (sindo k un número no nulo), aunque quede alguna otra del tipo 0 = 0, es que se trata de un sistema incompatible.
Veremos más adelante algunos métodos de clasificación más sencillos, pero comencemos nuestro recorrido por el método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales o, más concretamente, por cuáles son las "transformaciones de Gauss" con las que practicar este método.

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