El álgebra aplicado a la Economía: Sistemas de ecuaciones

 

Un gran ejemplo de ellos se represetan en el "Modelo de renta nacional"

Este modelo se diferencia del resto pues  nada garantiza que un determinado nivel de producción  o en su defecto un  ingreso cree un monto igual al que sería del gasto, abriendo así la posibilidad de que la economía esté en desequilibrio.

El modelo renta gasto explica el nivel de producción de equilibrio del mercado de bienes , el cual se da cuando el nivel de producción se iguala a la demanda agregada. Incluso tiene distintas aplicaciones, siendo una de las más importantes, tener la capacidad de evaluar el comportamiento de los factores de acuerdo a la política fiscal a la cual estamos haciendo referencia.

Su aplicación

Usando como ejemplo que  la práctica sugiere que una variable dependiente y es una función lineal de   k − 1 variables independientes x2, x3, . . . , xk. 

Posteriormente se plantea la cantidad demandada de un  bien del mercado siendo una función lineal del precio de este bien, denominado, x2, del precio de otros bienes que influyan sobre la cantidad demandada de este mismo de la siguiente forma,  x3, . . . , xk−2, mientras que de la renta de los consumidores, xk−1. 

Reescribiendo la ecuación la obtenemos como:

  

Ahora debemos establecer una variable  la cual sería u  una variable, esta busca dar cuenta del error existente en el modelo. Sin embargo existe una problemática donde la modelización económica consiste en determinar el valor de los parámetros desconocidos β1, . . . , βk.

Dicho de esta forma se realiza de tal manera que los errores en el modelo sean mínimos, a partir de un número determinado de observaciones muestrales del comportamiento en la realidad de los que se denominan variables consideradas. 

Ahora debemos suponer que se tienen n observaciones muestrales para cada  variable las cuales que intervienen en el modelo, recogidas en n instantes de tiempos, esto es, en términos matriciales disponemos de::

Entonces, para que se verifique la ecuación inicial se deben satisfacer las n igualdades

Dichas igualdades que pueden escribirse en matrices como:

También se pueden escribir simbólicamente, como:

Y = XB + U                                  

Se tiene que Y y X vienen dados como datos del problema, mientras que B y U son matrices, que en principio son desconocidas. Tras ser formulado el modelo observacional de forma matricial, como se ha mostrado anteriormente, se debe introducir una serie de hipótesis adicionales sobre la forma de comportarse de los distintos elementos del mismo en busca de ser abordado el problema de la estimación de los valores para los parámetros βi .

Si estas hipótesis subyacentes son admitidas en el proceso de estimación que se denomina de mínimos cuadrados, puede ser comprobado que la “estimación más correcta” de la matriz B vendrá dada por la expresión: 

Sin continuar profundizando en el modelo aquí expuesto, resaltamos que la intención con la inclusión de este modelo es dejar patente las diversas aplicaciones que encuentran las matrices en la Economía y  particularmente en este caso, en su propia construcción empírica.

Se puede evidenciar la aplicación de la Modelización lineal a la economía mediante un ejemplo práctico:

Se comienza planteando la suposición de que la demanda de un cierto bien del mercado y está dada como una función lineal del precio de este bien, x, respecto la ecuación.

y = β1 + β2x + u

Además, se procede a suponer  que son conocidos  los datos muestrales 

Pueden ser estimados los valores mínimos cuadráticos de β1 y β2, de la misma forma que los errores que han sido provocados por esta estimación. Para finalizar, se predice  la demanda de este bien que habría para un precio del mismo de x = 7,5 (suponiendo que el porcentaje de  error cometido es 0).